修正久期和麦考利久期的关系是什么？

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1、修正久期与麦考利久期的关系

对于修正久期与麦考利久期的关系，是通过对基础的债券价格公式求一阶导数并进行变换后，会发现这里包含了麦考利久期的公式，从而得出了修正久期的公式，个人认为从理解上看，可以从久期的定义公式去理解记忆这个概念。

修正久期是对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其麦考利久期的比例。这种比例关系是一种近似的比例关系，以债券的到期收益率很小为前提。是在考虑了收益率的基础上对麦考利久期进行的修正，是债券价格对于利率变动灵敏性的更加精确的度量。

2、麦考利久期

久期指的是债券的平均还款期，比如一个面值100的，一年期的债券，到一年末还清，那还款期是一年没有问题。但一个面值200的，两年期的债券，我每年末各还100，还款期如果用简单的加权平均算出来是1.5年，但实际上这样是错误的，因为资金是有时间价值的。所以需要对每年的现金流进行折现，以折现后的现金流为权重再进行加权平均后的还款期，就是麦考利久期的概念。

具体过程就是计算现金流加权的平均回流时间。

Macaulay Duration = SUM { t*w }

t = 现金流时间

w = 权重 (当期现金流折现/总的折现现金流)

如果是永续债，则简化后结果为：

Macaulay Duration = (1+r)/r

但是麦考利久期只是计算出了风险的相对大小，久期越长，风险越大，但是却没法算出风险和久期具体的关系。

3、修正久期

而修正久期（Modified Duration）指的是债券价格变化对利率变化对敏感程度，

ModDur = MacDur / (1 + YTM)

其中YTM为期间收益率，并非年化的收益率。

如果信息不足，没法通过上面式子计算，我们还可以根据修正久期的意义进行近似计算：