Kac-Moody代数的定义

假定以下材料:

——一个r秩广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix)

———— 一个 2n?r 维复向量空间

———— 的对偶空间

————中n枚相互线性独立的元，称为对偶根(co-root)

————中n枚线性相互线性独立的元，称为根(root)

上述各元满足

Kac–Moody代数

由符号 ei , fi (i=1,..,n) 及空间生成：

以上各元满足以下关系:

；其中；

，其中；

，其中ei出现1-cij次；

，其中fi出现1-cij 次。

(其中)

一个实(维数可以无限)李代数亦可称为Kac–Moody代数，如果复化是 Kac–Moody代数的话。

假设L是域F上的向量空间。如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件，则称L是一个李代数。

（1）这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。

（2）[x,x]=0，对L中任意元素x。

（3）[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对所有L中元素x，y，z。

首两个条件蕴含反对称性[x,y]=-[y,x]。

条件(3)称为雅可比恒等式。

我们也可以把[x,]看成一个导子，即满足莱布尼兹法则的导算子，将此导子记为ad x。

L的子空间K称为(李)子代数，如果K关于运算[,]封闭。L 的子代数I若满足[x,y]∈I,对于任意的x∈L,y∈I,则称I为L的一个理想或不变子代数。显然，它是L的子李代数。

李代数g作为F上向量空间,它的维数称为李代数g的维数。

设g是域F上一个向量空间,在g中定义换位运算：对于X,Y∈g，令X,Y=0，则g作成一个李代数，称为交换（或阿贝尔）李代数。

在R^3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是实数域，i=1, 2，3}中, 设①：[X,Y]=②，则R3作成R上一个李代数。

令V 是域F上一个向量空间。可知V的一切线性变换作成F上一个向量空间，设?、g是V的线性变换,令?g表示?与g的合成,并定义?,g=?g-g?，直接验证可知，V的全体线性变换所组成的向量空间，对于这样定义的换位运算,作成F上一个李代数。这个李代数称为全线性李代数，记作g{(V)。

类似地,域F上全体n×n矩阵所组成的向量空间，对于换位运算A,B=AB-BA（A、B是n×n矩阵）,作成F上一个李代数，并称之为F上全阵李代数，记作g{(n,F)。

更一般地,设U是域F上一个结合代数。对于α、b∈U定义α,b=αb-bα，则U作成F上一个李代数。

子代数、理想、商代数、同态令g是域F上一个李代数，α、b是g的子空间。记α,b={ΣA,B(有限和)│A∈α,B∈b }，则α, b是g的一个子空间。设α是g的一个子空间。如果α, α嶅α，那么就称α是g的一个子代数;如果α, g嶅α,那么α就称为g的一个理想。由于α,g=g,α，因此李代数的理想都是双边的。如果α是g的一个理想，在商空间g/α里，定义X+α,Y+α=X,Y+α，那么g/α作成F上一个李代数,称为g模α的商代数。

设g1、g2是域F上李代数。?:g1→g2是一个线性映射。如果对于X、Y∈g,?(X,Y)=?(X), ?(Y)，那么?就称为一个同态映射。如果?还是一个双射，那么就称?是一个同构映射,这时g1与g2就称为同构,记作g1≌g2。设?:g1→g2是一个同态映射，则 Im ?=?(g1)是g2的一个子代数,而Ker?=?-1(0)是g1的一个理想，并且?导出一个同构g1/Ker ?≌Im ?。

设V是域F上一个n维向量空间。通过取定V的一个基，可以在全线性李代数g{（V）与全阵李代数 g{(n, F)之间建立同构，因而常把这两个李代数看成是一样的。g{(n,F)（或g{(V)）的子代数称为线性李代数。一些重要的线性李代数如下：　 t(n,F)={(αij)|(αij)∈g{(n,F)，αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩阵所组成的集合。　 n(n,F)={(αij)|(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n}，即主对角线上元素都是0的 n×n上三角形矩阵所组成的集合。

容易验证,t(n,F)和n(n,F)都是g{(n,F)的子代数。

域F上一切迹是0(即主对角线上元素的和等于0)的n×n 矩阵,作成g{(n,F)的一个理想,记作s{(n,F)。当F是复数域，而n=l+1(l≥1)时，这个李代数通常记作Al，称为特殊线性李代数。

取定域F上一个n×n对称或反对称矩阵M。令g={X∈g{(n,F)| tXM+MX =0}(X表示X的转置), 则g是g{(n,F)的子代数。现设F是复数域，M是一个非退化对称矩阵，于是M与以下两个矩阵之一合同：

当n=2l+1，③；当n=2l，④。在前一情形，与之相当的g记作Bl；在后一情形，记作Dl。这两类李代数都称为正交代数。如果M是一个非退化反对称矩阵，那么n一定是偶数：n=2l，因此M与⑤合同。与此相当的李代数g称为辛代数，记作Cl。

可解李代数、幂零李代数设g是域F上一个李代数，α、b是g的理想，那么α,b仍是g的一个理想，特别,g(1)=g,g, g(2)=g(1),g(1),…,gn+1=g(n), g(n)，…都是g的理想。于是有g叾g(1)叾g(2)叾…，称为g的导出链。g(1)称为g的导出代数。如果存在一个正整数n，使得g(n)={0}，那么就说g是可解的。

再定义g1=g,g2=g,g1,…,gn+1=g,gn,…，又可得到g的一个理想序列g1叾g2叾…,称为g的降中心链。如果存在一个正整数n，使得gn={0}，那么就说g是幂零的。因为g(i)嶅gi，所以幂零李代数一定是可解的。

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