等比级数求和函数

这类题目的思路就是利用求导或者积分，把系数中的n去掉，让它变成纯纯x^n相加的等比级数，这样就好求了，别忘了求出和以后要变回去，比如先求导再求和之后要积一次分，才是真正要求的答案。

(1)前面系数是n，通过积分可以把系数n消掉，

①消去n

∫nx^n-1 dx=x^n（积分常数必然取为0，否则不收敛）

②求和

Σx^n=x/(1-x)这个就是等比级数的求和公式。

③求导还原出最后结果

[x/(1-x)]'=1/(1-x)?

(2)系数是1/n可以通过求导消去

①消去n

[x^n/n]'=x^(n-1)

②求和

Σx^(n-1)=1/(1-x)这个就是等比级数的求和公式。

③积分还原出最后结果

∫1/(1-x) dx=ln(1-x)+C

对比常数项，x=0时应该得0，所以C=0

最后结果是ln(1-x)

(3)还是分母上有n，求导消去

①消去n

[x^(2n+1)/(2n+1)]'=x^(2n)

②求和

Σx^(2n)=1/(1-x?)这个就是等比级数的求和公式（注意n从0开始）。

③积分还原出最后结果，这个积分稍微要算一下，用部分分式展开的办法计算

∫1/(1-x?) dx=1/2 ∫[1/(x+1)+1/(1-x)]dx=1/2 ln[(x+1)/(1-x)]+C

对比常数项，x=0时应该得0，所以C=0

最后结果是1/2 ln[(x+1)/(1-x)]

不保证上面计算都正确，楼主检查检查，总之思路要清楚。

这是个等比级数，公比是x^2，首项是1，当x^2＜1时，和函数是1/(1-x^2)。所以幂级数当|x|＜1时收敛，和函数是1/(1-x^2)；

提出分母1/3,剩下的是2/3的等比数列,求和.其中1-（2/3）^n 在n 趋于无穷时为1.这样等比数列求和公式只剩（2/3）/（1/3）=2 再乘提出的1/3 即为2/3。

扩展资料：

数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；

反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。

本文来自作者[小晴]投稿，不代表溟宇号立场，如若转载，请注明出处：https://gumingyu.com/zlan/202508-17548.html