-蝴蝶定理-的证明

已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

证明:过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX,OY,OM,SM,MT.

∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC，?

∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B?

∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB?

∴∠MSX=∠MTY；

又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆，?　

∴∠XOM=∠YOM?

∵OM⊥PQ

∴XM=YM

如图I，取圆O内一条弦的中点P，过P点作AB、CD交圆于A、B、C、D点，连AD、BC交弦于E、F点，则EP=PF。这就是著名的“蝴蝶定理”。

题目：过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。这就是蝴蝶定理的推广。

证明：引理，如右图，有结论

由及正弦定理即可得到：

原结论

作OM1AD于M1，OM2EH于M2，

于是，MA

2MM1

2Msin；

2MM2

2Msin

且MA*MD

ME*MH，MB*MC

MF*MG，代入上式，又

故原式成立

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