高中数学抛物线焦点弦性质斜率相加为零

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解：首先，依原图设抛物线的方程为：y²=2px(其中：p>0)；同时，不失一般性，可设点A在第一象限、点B在第四象限，且两点的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)。设直线F1A的斜率与直线F1B的斜率分别为k1和k2。

其次，从点A和点B分别作的垂线，设垂足分别是点C和点D。过点A做x轴的垂线，设垂足为点M；过点F做BD的垂线，设垂足为点N(草图见下)。则

|MF|?=?y1......................................①；

|NF|?=?-?y2....................................②。

同时，|根据抛物线的定义，得

|AF|?=?|AC|?=?x1?+?p/2?....................③；

|BF|?=?|BD|?=?x1?+?p/2?....................④。

另外，易知?RT△AFM?∽?RT△BFN，则得?|MF|?/?|AF|?=?|NF|?/?|BF|?。

将①②③④代入上式，并整理可得

y1/?(x1?+?p/2)?+?y2/?(x2?+?p/2)?=?0?。

而k1?=?(y1?-?0)/[x1?-?(-?p/2)]?=?y1/?(x1?+?p/2)；k2?=?(y2?-?0)/[x2?-?(-?p/2)]?=?y2/?(x2?+?p/2)。

所以，k1?+?k2?=?0?。

斜率相加等于0的时候便意味着即两条直线的斜率互为相反数。

因为题目说AM=BM，那么很有可能是是关于Y轴对称的两条线。

扩展：

斜率为0，与x轴平行或重合，

斜率不为0，两条直线关于直线x=a，y=b，点 (a，b)对称，其中 (a，b)是两直线交点。

斜率的意义是tanθ，θ是直线的倾角。两个斜率互为相反数，就是倾角之和为π。

也就是说XY的图线中直线必须得以X轴正方向为起点，两条直线的倾斜角度相加之和是180°。

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